Laboratório de Automação, Controle e Instrumentação
 

Controle de epidemia baseado apenas em distanciamento social

No dia 11 de março de 2020, a Organização Mundial da Saúde (OMS) caracterizou a COVID-19 como uma pandemia. A busca para atuar na redução dos danos causados pela COVID-19 tem motivado pesquisadores das mais diversas áreas de atuação a se dedicarem ao problema. Como não podia ser diferente, os pesquisadores do Laboratório de Automação, Controle e Instrumentação (LACI) da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) se dedicaram a estudar o problema e identificou uma forma de contribuir com o estado do Rio Grande do Norte (RN) na redução dos danos causados pela COVID-19.

Os pesquisadores vinculados ao LACI são especializados no desenvolvimento e aplicação de técnicas de controle. Estudando os modelos utilizados para descrever uma epidemia, os pesquisadores verificaram que podem propor uma lei de controle com o objetivo de atuar sobre o número de casos de pessoas infectadas que irão necessitar de hospitalização. Para entender como esta lei será proposta, inicialmente é necessário um estudo sobre a dinâmica da COVID-19 na população.

O modelo SIR

O modelo (1) que será adotado neste trabalho é um modelo básico chamada de SIR formulado por Kermack e McKendrick em 1927. Este modelo trata a propagação da doença a partir de três grupos: (S) suscetíveis, (I) infectados e (R) recuperados. O modelo SIR é aplicado em epidemias com curta duração (alguns meses). O modelo utilizado aqui é aplicado nos casos de doenças epidêmicas sem tratamento e sem vacina.

O modelo SIR é um sistema não linear de três equações diferenciais:


(1)   \begin{equation*}\begin{array}{rcl}\dfrac{d~s(t)}{dt}&=&-\beta(t) i(t)s(t) \\[1em]\dfrac{d~i(t)}{dt}&=&\beta(t) i(t)s(t) - \gamma i(t)\\[1em]\dfrac{d~r(t)}{dt}&=&\gamma i(t)\end{array}\end{equation*}

onde s(t) é o número de indivíduos susceptíveis, i(t) é o número de indivíduos infectados, r(t) é o número de indivíduos recuperados, \beta(t) é proporcional ao coeficiente da taxa de transmissão e \gamma é a taxa de recuperação.


Agora considere

(2)   \begin{equation*}\beta(t)=\rho(t)\beta_0,\end{equation*}

onde \rho(t) é proporcional ao nível de distanciamento social e \beta_{0} é o valor médio do coeficiente da taxa de transmissão.


Por fim, considere que o número básico de reprodução da epidemia é dado por:

(3)   \begin{equation*}R_0(t)=\dfrac{\beta_0}{\gamma}\end{equation*}

O objetivo durante um surto epidêmico que não possui vacina ou tratamento é reduzir ao máximo o número de pessoas infectadas e evitar o colapso do sistema de saúde. Durante o surto da COVID-19 em países asiáticos, identificou-se que o número de pessoas hospitalizadas com problemas respiratórios era bastante elevado e, a medida que a doença se espalha pelo mundo, ela poderia ocasionar o colapso dos sistemas de saúde dos países que não conseguissem controlar adequadamente o coeficiente da taxa de transmissão da doença.


Todo sistema de saúde possui um número máximo de pessoas que podem sem atendidas (i_d) por dia. Desta forma, como não há vacina ou tratamento para a COVID-19, a única forma de manter o número de pessoas hospitalizadas inferior ao número máximo (i_d) é ajustando o nível de distanciamento social.

Baseado no modelo SIR (1), serão realizadas simulações levando-se em conta quatro diferentes cenários. Cada cenário da simulação adotou um valor diferente para o número básico de reprodução da epidemia para demonstrar o efeito do mesmo no número de pessoas infectadas e o tempo de propagação da doença. As figuras 1 e 2 apresentam os resultados no número de pessoas infectadas ao longo do surto e o número de pessoas que necessitam de hospitalização a cada dia do surto, respectivamente. Para a simulação da figura 2, considera-se que uma taxa de 10% das pessoas infectadas necessitaram de hospitalização e que o número de leitos disponíveis é de 0,2%, ou seja, em uma população com um milhão de habitantes, seriam dois mil leitos disponíveis. Ainda sobre as simulações, utilizou-se como valor médio do coeficiente da taxa de transmissão valores obtidos em publicações científicas de revistas científicas renomadas.

Figura 1 – Percentual de pessoas que foram infectadas versus o número de dias da epidemia
Figura 2 – Percentual de pessoas infectadas em um determinado dia que necessitam de hospitalização versus o número de dias da epidemia

Como pode ser observado na figura 1, a taxa básica de reprodução influência tanto na quantidade de pessoas que serão contaminadas, quanto no tempo em que as pessoas serão contaminadas. A figura 2 apresenta como seria a dinâmica da hospitalização dos indivíduos, na qual fica clara que para todos os casos simulados o número de indivíduos que necessitam de hospitalização está bem acima do suportado e que está demanda ocorre por vários dias.

Controlador proposto


O objetivo é calcular o nível de distanciamento social \rho(t) necessário para que a saída do erro

(4)   \begin{equation*}e(t)=i_d-i(t),\end{equation*}

fique próximo à zero durante o surto epidêmico, o que evitará o colapso do sistema de saúde. Desta forma, considere a expressão que calcula a taxa de distânciamento social necessário para manter o número de pessoas hospitalizadas abaixo do valor máximo dada por:

(5)   \begin{equation*}\rho(t)=\dfrac{\psi_1 e(t) + \psi_2 \displaystyle\int_{0}^{t}e(t) dt}{ i(t)s(t)\beta_{0}},\end{equation*}

onde \psi_1 e \psi_2 são valores constantes e positivos definidos de acordo com as características do susrto epidêmico e das condições do sistema de saúde local.

As figuras 3 e 4 apresentam os resultados no número de pessoas infectadas ao longo do surto e o número de pessoas que necessitam de hospitalização a cada dia do surto, respectivamente, quando é utilizada uma técnica de controle para ajustar o nível de distanciamento social. Para a simulação da figura 4, considera-se que uma taxa de 10% das pessoas infectadas necessitaram de hospitalização e que o número de leitos disponíveis é de 0,2%.

Figura 3 – Percentual de pessoas que foram infectadas versus o número de dias da epidemia

Figura 4 – Percentual de pessoas infectadas em um determinado dia que necessitam de hospitalização versus o número de dias da epidemia

Como pode ser observado na figura 3, o número de pessoas infectadas cresce de forma mais linear e durante um tempo maior que nos casos sem controle. A figura 4 apresenta a dinâmica da hospitalização dos indivíduos, na qual fica clara que ao adotar-se uma técnica de controle para ajustar o nível de distanciamento social foi possível manter o número de indivíduos hospitalizados abaixo do valor máximo desejado. Um outro aspecto a ser considerado é que o tempo necessário para superar o surto da COVID-19 dependerá da capacidade de hospitalização da região, o que permite o gestor da saúde planejar exatamente como deseja debelar o surto.

A figura 5 apresenta a dinâmica do ajuste do nível de distanciamento social necessário para garantir que não haverá colapso no sistema de saúde local.

Figura 5 – Percentual de distanciamento social necessário versus o número de dias da epidemia

A figura 5 demonstrar a necessidade de um distanciamento social elevado em um primeiro momento, o qual passa a ser relaxado de forma progressiva por mais de cem dias.

É possível verificar que a aplicação de técnicas de controle para evitar o colapso do sistema de saúde é viável. Em outras publicações, a aplicação desta técnica ao surto de COVID-19 que ocorre no estado do Rio Grande do Norte será apresentada.

O texto apresentado aqui é uma versão de um trabalho desenvolvido por pesquisadores do LACI para divulgação e popularização científica, desta forma, os aspectos mais formais necessários para a academia estão em artigos científicos em revisão ou em artigos publicados na forma de preprint.

Referências

  • S. Dias, K. Queiroz, and A. Martins, “Controlling epidemic diseases based only on social distancing level,” ArXiv, vol. abs/2005.08052, 2020.
    [Bibtex]
    @article{sama_2020_arxiv_01,
      title={Controlling epidemic diseases based only on social distancing level},
      author={Samaherni Dias and Kurios Queiroz and Allan Martins},
      journal={ArXiv},
      year={2020},
      volume={abs/2005.08052}
    }