Controle de epidemia baseado apenas em distanciamento social

No dia 11 de março de 2020, a Organização Mundial da Saúde (OMS) caracterizou a COVID-19 como uma pandemia. A busca para atuar na redução dos danos causados pela COVID-19 tem motivado pesquisadores das mais diversas áreas de atuação a se dedicarem ao problema. Como não podia ser diferente, os pesquisadores do Laboratório de Automação, Controle e Instrumentação (LACI) da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) se dedicaram a estudar o problema e identificou uma forma de contribuir com o estado do Rio Grande do Norte (RN) na redução dos danos causados pela COVID-19.

Os pesquisadores vinculados ao LACI são especializados no desenvolvimento e aplicação de técnicas de controle. Estudando os modelos utilizados para descrever uma epidemia, os pesquisadores verificaram que podem propor uma lei de controle com o objetivo de atuar sobre o número de casos de pessoas infectadas que irão necessitar de hospitalização. Para entender como esta lei será proposta, inicialmente é necessário um estudo sobre a dinâmica da COVID-19 na população.

O modelo SIR

O modelo (1) que será adotado neste trabalho é um modelo básico chamada de SIR formulado por Kermack e McKendrick em 1927. Este modelo trata a propagação da doença a partir de três grupos: (S) suscetíveis, (I) infectados e (R) recuperados. O modelo SIR é aplicado em epidemias com curta duração (alguns meses). O modelo utilizado aqui é aplicado nos casos de doenças epidêmicas sem tratamento e sem vacina.

O modelo SIR é um sistema não linear de três equações diferenciais:

(1) $\begin{equation*}\begin{array}{rcl}\dfrac{d~s(t)}{dt}&=&-\beta(t) i(t)s(t) \\[1em]\dfrac{d~i(t)}{dt}&=&\beta(t) i(t)s(t) - \gamma i(t)\\[1em]\dfrac{d~r(t)}{dt}&=&\gamma i(t)\end{array}\end{equation*}$

onde $s(t)$ é o número de indivíduos susceptíveis, $i(t)$ é o número de indivíduos infectados, $r(t)$ é o número de indivíduos recuperados, $\beta(t)$ é proporcional ao coeficiente da taxa de transmissão e $\gamma$ é a taxa de recuperação.

Agora considere

(2) $\begin{equation*}\beta(t)=\rho(t)\beta_0,\end{equation*}$

onde $\rho(t)$ é proporcional ao nível de distanciamento social e $\beta_{0}$ é o valor médio do coeficiente da taxa de transmissão.

Por fim, considere que o número básico de reprodução da epidemia é dado por:

(3) $\begin{equation*}R_0(t)=\dfrac{\beta_0}{\gamma}\end{equation*}$

O objetivo durante um surto epidêmico que não possui vacina ou tratamento é reduzir ao máximo o número de pessoas infectadas e evitar o colapso do sistema de saúde. Durante o surto da COVID-19 em países asiáticos, identificou-se que o número de pessoas hospitalizadas com problemas respiratórios era bastante elevado e, a medida que a doença se espalha pelo mundo, ela poderia ocasionar o colapso dos sistemas de saúde dos países que não conseguissem controlar adequadamente o coeficiente da taxa de transmissão da doença.

Todo sistema de saúde possui um número máximo de pessoas que podem sem atendidas ( $i_d$ ) por dia. Desta forma, como não há vacina ou tratamento para a COVID-19, a única forma de manter o número de pessoas hospitalizadas inferior ao número máximo ( $i_d$ ) é ajustando o nível de distanciamento social.

Baseado no modelo SIR (1), serão realizadas simulações levando-se em conta quatro diferentes cenários. Cada cenário da simulação adotou um valor diferente para o número básico de reprodução da epidemia para demonstrar o efeito do mesmo no número de pessoas infectadas e o tempo de propagação da doença. As figuras 1 e 2 apresentam os resultados no número de pessoas infectadas ao longo do surto e o número de pessoas que necessitam de hospitalização a cada dia do surto, respectivamente. Para a simulação da figura 2, considera-se que uma taxa de 10% das pessoas infectadas necessitaram de hospitalização e que o número de leitos disponíveis é de 0,2%, ou seja, em uma população com um milhão de habitantes, seriam dois mil leitos disponíveis. Ainda sobre as simulações, utilizou-se como valor médio do coeficiente da taxa de transmissão valores obtidos em publicações científicas de revistas científicas renomadas.

Figura 1 – Percentual de pessoas que foram infectadas versus o número de dias da epidemia

Figura 2 – Percentual de pessoas infectadas em um determinado dia que necessitam de hospitalização versus o número de dias da epidemia

Como pode ser observado na figura 1, a taxa básica de reprodução influência tanto na quantidade de pessoas que serão contaminadas, quanto no tempo em que as pessoas serão contaminadas. A figura 2 apresenta como seria a dinâmica da hospitalização dos indivíduos, na qual fica clara que para todos os casos simulados o número de indivíduos que necessitam de hospitalização está bem acima do suportado e que está demanda ocorre por vários dias.

Controlador proposto

O objetivo é calcular o nível de distanciamento social $\rho(t)$ necessário para que a saída do erro

(4) $\begin{equation*}e(t)=i_d-i(t),\end{equation*}$

fique próximo à zero durante o surto epidêmico, o que evitará o colapso do sistema de saúde. Desta forma, considere a expressão que calcula a taxa de distânciamento social necessário para manter o número de pessoas hospitalizadas abaixo do valor máximo dada por:

(5) $\begin{equation*}\rho(t)=\dfrac{\psi_1 e(t) + \psi_2 \displaystyle\int_{0}^{t}e(t) dt}{ i(t)s(t)\beta_{0}},\end{equation*}$

onde $\psi_1$ e $\psi_2$ são valores constantes e positivos definidos de acordo com as características do susrto epidêmico e das condições do sistema de saúde local.

As figuras 3 e 4 apresentam os resultados no número de pessoas infectadas ao longo do surto e o número de pessoas que necessitam de hospitalização a cada dia do surto, respectivamente, quando é utilizada uma técnica de controle para ajustar o nível de distanciamento social. Para a simulação da figura 4, considera-se que uma taxa de 10% das pessoas infectadas necessitaram de hospitalização e que o número de leitos disponíveis é de 0,2%.

Figura 3 – Percentual de pessoas que foram infectadas versus o número de dias da epidemia

Figura 4 – Percentual de pessoas infectadas em um determinado dia que necessitam de hospitalização versus o número de dias da epidemia

Como pode ser observado na figura 3, o número de pessoas infectadas cresce de forma mais linear e durante um tempo maior que nos casos sem controle. A figura 4 apresenta a dinâmica da hospitalização dos indivíduos, na qual fica clara que ao adotar-se uma técnica de controle para ajustar o nível de distanciamento social foi possível manter o número de indivíduos hospitalizados abaixo do valor máximo desejado. Um outro aspecto a ser considerado é que o tempo necessário para superar o surto da COVID-19 dependerá da capacidade de hospitalização da região, o que permite o gestor da saúde planejar exatamente como deseja debelar o surto.

A figura 5 apresenta a dinâmica do ajuste do nível de distanciamento social necessário para garantir que não haverá colapso no sistema de saúde local.

Figura 5 – Percentual de distanciamento social necessário versus o número de dias da epidemia

A figura 5 demonstrar a necessidade de um distanciamento social elevado em um primeiro momento, o qual passa a ser relaxado de forma progressiva por mais de cem dias.

É possível verificar que a aplicação de técnicas de controle para evitar o colapso do sistema de saúde é viável. Em outras publicações, a aplicação desta técnica ao surto de COVID-19 que ocorre no estado do Rio Grande do Norte será apresentada.

O texto apresentado aqui é uma versão de um trabalho desenvolvido por pesquisadores do LACI para divulgação e popularização científica, desta forma, os aspectos mais formais necessários para a academia estão em artigos científicos em revisão ou em artigos publicados na forma de preprint.

Referências

S. Dias, K. Queiroz, and A. Martins, “Controlling epidemic diseases based only on social distancing level,” ArXiv, vol. abs/2005.08052, 2020.
[Bibtex]

@article{sama_2020_arxiv_01,
  title={Controlling epidemic diseases based only on social distancing level},
  author={Samaherni Dias and Kurios Queiroz and Allan Martins},
  journal={ArXiv},
  year={2020},
  volume={abs/2005.08052}
}